已知四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一點(diǎn)，且PA∥平面QBD.

⑴確定Q的位置;
⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.
⑴當(dāng)時(shí)，PA∥平面QBD；⑵二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

試題分析：⑴要使得PA∥平面QBD，必須使得平面QBD內(nèi)有一條直線與PA平行，為了找這條直線，先作過PA與平面QBD相交的平面，只要交線與PA平行即可.⑵由于BC,BA,BP兩兩垂直，故可以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC,BA,BP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量進(jìn)行計(jì)算.
試題解析：⑴當(dāng)時(shí)，PA∥平面QBD，證明如下：
連結(jié)AC交BD于點(diǎn)M，
∵2CD=AB,CD∥AB,∴AM=2MC
過PA的平面PAC平面QBD=MQ,
∵PA∥平面QBD,∴AP∥MQ,∴PQ=2QC.       4分
⑵設(shè)BC=1，如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC,BA,BP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O- xyz(其中點(diǎn)B與點(diǎn)O重合)，則C(1,0,0)，A(0,2,0)，D(1,1,0)，P(0,0,1).
∵PQ=2QC，∴
設(shè)平而QBD的一個(gè)法向量為，
則
取.

又平面CBD的一個(gè)法向量為
設(shè)二面角Q-BD-C的平面角為，又為銳角
∴
∴二面角Q-BD-C的平面角的余弦值。      12分
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正方體的邊長(zhǎng)為2，，分別為，的中點(diǎn)，在五棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面與棱，分別交于，.
（1）求證：；
（2）若底面，且，求直線與平面所成角的大小，并求線段的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，已知，，．

（1）求異面直線與夾角的余弦值；
（2）求二面角平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P—ABCD中，PD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M為棱PB的中點(diǎn)．

(1)證明：DM平面PBC；
(2)求二面角A—DM—C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一點(diǎn)，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，.

（1）證明：；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如下圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面都
是矩形，是的中點(diǎn)，，.
（1）求證：
（2）求證：平面；
（3）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長(zhǎng)度.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在四棱錐中,側(cè)面底面,,底面是直角梯形,,,,．

（1）求證:平面;
（2）設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，，試確定的值,使得二面角為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．

（1）求證：；
（2）若二面角為，求的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

給出下列結(jié)論：①若 ，，則 ； ②若，則；
③；   ④為非零不共線，若；
⑤非零不共線，則與垂直
其中正確的為（     ）
A．②③B．①②④C．④⑤D．③④

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