Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=5，a_n+1=2a_n+1，n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項公式以及前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，利用條件，即可證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）根據(jù){a_n+1}是等比數(shù)列，即可求{a_n}的通項公式以及前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=5，a_n+1=2a_n+1，n∈N^*．
∴a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N^*．
即

an+1+1

an+1

=

2an+1+1

an+1

=2，n∈N^*都成立，
又a₁+1=6≠0，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項為6，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）得a_n+1=6•2^n-1，
則a_n=6•2^n-1-1，
于是S_n=6(20+21+…+2n-1)-(1+1+…+1)=6•

1-2n

1-2

-n=6•2ⁿ-n-6．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和，考查學生的計算能力．