Question

13．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且2S_n=3a_n-$\frac{2}{9}$，a_n≠0（n∈N^*）；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n和S_n；
（2）若b_n=$\frac{2n+3}{{（9{S_n}+1）n（n+1）}}$=$\frac{a}{{n•{3^{n-1}}}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，（n∈N^*），求b_n和a值；
（3）設(shè)T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求T_n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由2S_n=3a_n-$\frac{2}{9}$可求得a₁=$\frac{2}{9}$；當(dāng)n≥2時，a_n=3a_n-1，從而可知數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，繼而可得a_n和S_n；
（2）b_n=$\frac{2n+3}{{（9{S_n}+1）n（n+1）}}$=$\frac{a}{{n•{3^{n-1}}}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可求b_n和a值；
（3）設(shè)T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求出T_n，即可求T_n的取值范圍．

解答 解：（1）∵2S_n=3a_n-$\frac{2}{9}$，
∴2a₁=2S₁=3a₁-$\frac{2}{9}$，
解得a₁=$\frac{2}{9}$．
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=3a_n-1-$\frac{2}{9}$，
∴2S_n-2S_n-1=3a_n-3a_n-1，
∴2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{2}{9}$，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=$\frac{2}{9}$•3^n-1=2•3^n-3
S_n=$\frac{\frac{2}{9}（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3^n-2-$\frac{1}{9}$；
（2）由（1）知，S_n=3^n-2-$\frac{1}{9}$．
∵b_n=$\frac{2n+3}{{（9{S_n}+1）n（n+1）}}$=$\frac{a}{{n•{3^{n-1}}}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，（n∈N^*），
∴b_n=$\frac{2n+3}{{（9{S_n}+1）n（n+1）}}$=$\frac{2n+3}{[9×（{3}^{n-2}-\frac{1}{9}）+1]n（n+1）}$=$\frac{2n+3}{{3}^{n}n（n+1）}$=$\frac{a}{{n•{3^{n-1}}}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，
即$\frac{2n+3}{{3}^{n}n（n+1）}$=$\frac{3a}{n•{3}^{n}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，
∴$\frac{2n+3}{n（n+1）}$=$\frac{3a}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴a=1．
綜上所述，b_n=$\frac{2n+3}{{3}^{n}n（n+1）}$，a=1；
（3）b_n=$\frac{a}{{n•{3^{n-1}}}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$=$\frac{1}{n•{3}^{n-1}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{2•3}$-$\frac{1}{3•{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{n•{3}^{n-1}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$=1-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，
∵0＜$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$≤$\frac{1}{6}$
∴$\frac{5}{6}$≤T_n＜1．

點評 本題考查數(shù)列的通項與求和，考查裂項法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．