在長(zhǎng)方體中，，過(guò)、、三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為．

（1）求棱的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)到平面的距離．

（1）3（2）

解析試題分析：解：（1）設(shè)，由題設(shè)，
得，即，解得．
故的長(zhǎng)為．
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
由已知及（1），可知，，，，
設(shè)平面的法向量為，有，，
其中，，則有即解得，，取，得平面的一個(gè)法向量，且．
在平面上取點(diǎn)，可得向量，于是點(diǎn)到平面的距離．
考點(diǎn)：點(diǎn)到平面的距離
點(diǎn)評(píng)：求點(diǎn)到平面的距離，可通過(guò)向量方法來(lái)求解，有時(shí)也可通過(guò)三棱錐的體積來(lái)求解（等體積法）。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面CDE.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，，，設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為．

（Ⅰ）求證:；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在棱上，且，試求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知⊥平面，∥，是正三角形，，且是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知,,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：DC平面ABC；
（Ⅱ）設(shè)，求三棱錐A－BFE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題


幾何體EFG —ABCD的面ABCD，ADGE，DCFG均為矩形，AD=DC=l，AE=。

（I）求證：EF⊥平面GDB；
（Ⅱ）線段DG上是否存在點(diǎn)M使直線BM與平面BEF所成的角為45°，若存在求等￥ 的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分別是PD，BC的中點(diǎn)．

（1）求證：MQ∥平面PAB；
（2）若AN⊥PC，垂足為N，求證：MN⊥PD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱，，點(diǎn)M，N分別為和的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：∥平面；
(Ⅱ)若二面角A為直二面角，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱平面，且，為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，分別為棱的中點(diǎn)

（1）求證：//平面；
（2）求證：平面；
（3）求點(diǎn)到平面的距離。

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