Question

已知函數(shù)f(x)=

a

3

x3-

1

2

(a+1)x2+x-

1

3

（a∈R）．
（1）函數(shù)f（x）的圖象在點（-1，f（-1））處的切線方程為12x-y+b=0（b∈R），求a與b的值；
（2）若a＜0，求函數(shù)f（x）的極值；
（3）是否存在實數(shù)a使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上有兩個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）的圖象在x=-1處的切線方程為12x-y+b=0，可知：f′（-1）=12，f（-1）=-12+b，可解a，b的值；
（2）對f（x）進行求導(dǎo)，求出極值點，列出表格，進而求函數(shù)f（x）的極值；
（3）求出f（

1

a

），f（1），f（2）的值，討論

1

a

與1，2值的大小，利用零點定理進行判斷．

解答：解：（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)=

a

3

x3-

1

2

(a+1)x2+x-

1

3

（a∈R）．
則導(dǎo)數(shù)f′（x）=ax²-（a+1）x+1，
函數(shù)f（x）的圖象在x=-1處的切線方程為12x-y+b=0可知：
f′（-1）=a+（a+1）+1=12，f（-1）=-

a

3

-

1

2

（a+1）-1-

1

3

=-12+b，
解得a=5，b=6；
（2）f′（x）=ax²-（a+1）x+1=a（x-1）（x-

1

a

）
∵a＜0，∴

1

a

＜1，

	（-∞， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

∴f（x）極小值=f（

1

a

）=

-2a2+3a-1

6a2

，f（x）極大值=f（1）=-

1

6

（a-1）
（3）f（

1

a

）=

-2a2+3a-1

6a2

=

-(a-1)(2a-1)

6a2

，f（1）=-

1

6

（a-1）
f（2）=

1

3

（2a-1），f（0）=-

1

3

＜0，
①當a≤

1

2

時f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，在[1，2]上為減函數(shù)，f（0）=-

1

3

＜0，
f（1）=-

1

6

（a-1）＞0，f（2）=

1

3

（2a-1）≤0，所以f（x）在區(qū)間[0，1]，（1，2]上各有一個零點，即在[0，2]上有兩個零點；
②當

1

2

＜a≤1時，f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，在（1，

1

a

）上為減函數(shù)，（

1

a

，2）上為增函數(shù)，f（0）=-

1

3

＜0，
f（1）=-

1

6

（a-1）＞0，f（

1

a

）=

-(a-1)(2a-1)

6a2

＞0，f（2）=

1

3

（2a-1）＞0，
所以f（x）只在區(qū)間[0，1]上有一個零點，故在[0，2]上只有一個零點；
③當a＞1時，f（x）在[0，

1

a

]上為增函數(shù)，在（

1

a

，1）上為減函數(shù)，（1，2）上為增函數(shù)，f（0）=-

1

3

＜0，f（

1

a

）=

-(a-1)(2a-1)

6a2

＜0，f（1）=-

1

6

（a-1）＜0，f（2）=

1

3

（2a-1）＞0，
，所以f（x）只在區(qū)間（1，2）上有一個零點，故在[0，2]上只有一個零點；
故存在實數(shù)a，當a≤

1

2

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上有兩個零點．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問題，突出考查函數(shù)的零點定理，分類討論數(shù)學(xué)思想及綜合分析與運算的能力，屬于難題．