Question

5．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\(chéng)\ y=sinφ\(chéng)end{array}\right.（φ$為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）直線l的極坐標(biāo)方程是$ρ（sinθ+\sqrt{3}cosθ）=3\sqrt{3}$，射線$OM：θ={θ_1}（0＜{θ_1}＜\frac{π}{2}）$與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求|OP|•|OQ|的范圍．

Answer 1

分析 （1）圓C的參數(shù)方程消去參數(shù)φ，能求出圓C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圓C的極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P（ρ₁，θ₁），則有ρ₁=cosθ₁，Q（ρ₂，θ₁），則${ρ_2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{{sin{θ_1}+\sqrt{3}cos{θ_1}}}$，|OP|•|OQ|=ρ₁ρ₂，結(jié)合tanθ₁＞0，能求出|OP|•|OQ|的范圍．

解答 解：（1）∵圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\(chéng)\ y=sinφ\(chéng)end{array}\right.（φ$為參數(shù)），
∴消去參數(shù)φ，得圓C的普通方程是（x-1）²+y²=1，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ．
（2）設(shè)P（ρ₁，θ₁），則有ρ₁=2cosθ₁，Q（ρ₂，θ₁），
則有${ρ_2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{{sin{θ_1}+\sqrt{3}cos{θ_1}}}$，
∴$|{OP}||{OQ}|={ρ_1}•{ρ_2}=\frac{{6\sqrt{3}cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}+\sqrt{3}cos{θ_1}}}=\frac{{6\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}+tan{θ_1}}}（0＜{θ_1}＜\frac{π}{2}）$，
∵tanθ₁＞0，∴0＜|OP||OQ|＜6．
故|OP|•|OQ|的范圍是（0，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的極坐標(biāo)方程的求法，考查兩線段的乘積的取值范圍的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．