Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F，左右頂點分別為A、C，上頂點為B，過F，B，C三點作圓P，其中圓心P的坐標(biāo)為（m，n）．
（Ⅰ）當(dāng)m+n≤0時，橢圓的離心率的取值范圍．
（Ⅱ）直線AB能否和圓P相切？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用圓心是兩條弦的中垂線的交點，可求圓心坐標(biāo)，注意a²-b²=c²．
（2）假設(shè)相切，運(yùn)用兩點表示的斜率公式求出k_AB^和k_PB，則k_AB•k_PB=-1，由此推出c²=2ac，這與0＜c＜a矛盾．

解答：解：（Ⅰ）由題意FC，BC的中垂線方程分別為x=

a-c

2

，y-

b

2

=

a

b

(x-

a

2

)，
于是圓心坐標(biāo)為(

a-c

2

，

b2-ac

2b

)．（4分）
m+n=

a-c

2

+

b2-ac

2b

≤0，即ab-bc+b²-ac≤0，
即（a+b）（b-c）≤0，所以b≤c，于是b²≤c²＞c^即a²≤2c²，
所以e2≥

1

2

，又0＜e＜1，∴

2

2

≤e＜1．（7分）
（Ⅱ）假設(shè)相切，則k_AB•k_PB=-1，（9分）
∵kPB=

b- b2-ac 2b

0- a-c 2

=

b2+ac

b(c-a)

，kAB=

b

a

，∴kPB•kAB=

b2+ac

a(c-a)

=-1，（11分）
∴a²-c²+ac=a²-ac，即c²=2ac，∵c＞0，∴c=2a這與0＜c＜a矛盾．
故直線AB不能與圓P相切．（13分）

點評：本題主要考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系以及分析問題與解決問題的能力．