（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

定義變換：可把平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)變換到這一平面上的點(diǎn).特別地，若曲線上一點(diǎn)經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)與點(diǎn)重合，則稱點(diǎn)是曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn).

（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦距為，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 并求出當(dāng)時(shí)，其兩個(gè)焦點(diǎn)、經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)和的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，求（1）中的橢圓在變換下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線在變換

：（，）下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù).

 

【答案】

（1）（2）（3）兩個(gè)

【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①.

又由條件得…②，故由①、②可解得，.

即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

且橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和.

對(duì)于變換：，當(dāng)時(shí)，可得

設(shè)和分別是由和的坐標(biāo)由變換公式變換得到.于是，，即的坐標(biāo)為；

又即的坐標(biāo)為.

（2）設(shè)是橢圓在變換下的不動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，[來(lái)源:Z§xx§k.Com]

有，由點(diǎn)，即，得：

，因而橢圓的不動(dòng)點(diǎn)共有兩個(gè)，分別為和.

(3) 設(shè)是雙曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn)，則由

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052111495710937700/SYS201205211152276562377552_DA.files/image037.png">，，故.

不妨設(shè)雙曲線方程為（），由代入得

則有,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052111495710937700/SYS201205211152276562377552_DA.files/image041.png">，故當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，要使不動(dòng)點(diǎn)存在，則需，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052111495710937700/SYS201205211152276562377552_DA.files/image041.png">，故當(dāng)時(shí)，雙曲線在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，否則不存在不動(dòng)點(diǎn).

進(jìn)一步分類可知：

（i）當(dāng)，時(shí)，即雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，

；

此時(shí)雙曲線在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；

（ii）當(dāng)，時(shí)，即雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，

.[來(lái)源:]

此時(shí)雙曲線在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

現(xiàn)有變換公式：可把平面直角坐標(biāo)系上的一點(diǎn)變換到這一平面上的一點(diǎn).

（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦距為，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出其兩個(gè)焦點(diǎn)、經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)和的坐標(biāo)；

（2） 若曲線上一點(diǎn)經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)與點(diǎn)重合，則稱點(diǎn)是曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn). 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3） 在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù).

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已知拋物線（且為常數(shù)），為其焦點(diǎn)．
（1）寫出焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，求直線的斜率；
（3）若線段是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的兩條動(dòng)弦，且滿足，如圖所示．求四邊形面積的最小值．

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（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）如圖,過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點(diǎn),試證明為定值;

（Ⅲ）過(guò)A、B分別作拋物C的切線且交于點(diǎn)M,求與面積之和的最小值．

 

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一青蛙從點(diǎn)開始依次水平向右和豎直向上跳動(dòng)，其落點(diǎn)坐標(biāo)依次是，(如圖所示，坐標(biāo)以已知條件為準(zhǔn))，表示青蛙從點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程。

(1) 若點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上

一點(diǎn)，點(diǎn)，均在該拋物線上，并且直線經(jīng)

過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，證明.

(2)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上，

要么落在所表示的曲線上，并且,

試寫出（不需證明）；

(3)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且，求的表達(dá)式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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（2） 若曲線上一點(diǎn)經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)與點(diǎn)重合，則稱點(diǎn)是曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn). 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3） 在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù).

 

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