Question

10．已知點(diǎn)P（x₀，y₀）為橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，當(dāng)y₀=$\frac{2}$時(shí)，∠F₁PF₂=60°，則橢圓C的離心率為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$
• B． $\frac{{\sqrt{7}}}{7}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由P在橢圓上求出P的橫坐標(biāo)，利用焦半徑公式及余弦定理得到關(guān)于a，c的方程，求解可得橢圓的離心率．

解答 解：由P（x₀，y₀）在橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上，且y₀=$\frac{2}$，可得${{x}_{0}}^{2}=\frac{3}{4}{a}^{2}$，
不妨取${x}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
則$|P{F}_{1}|=a+e{x}_{0}=a+\frac{\sqrt{3}}{2}c$，$|P{F}_{2}|=a-e{x}_{0}=a-\frac{\sqrt{3}}{2}c$．
在△F₁PF₂中，則$4{c}^{2}=（a+\frac{\sqrt{3}}{2}c）^{2}+（a-\frac{\sqrt{3}}{2}c）^{2}-2（{a}^{2}-\frac{3}{4}{c}^{2}）•cos60°$，
即$4{c}^{2}={a}^{2}+\sqrt{3}ac+\frac{3}{4}{c}^{2}+{a}^{2}-\sqrt{3}ac+\frac{3}{4}{c}^{2}$$-{a}^{2}+\frac{3}{4}{c}^{2}$．
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{7}$，則$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓焦半徑公式的應(yīng)用，考查利用余弦定理求解焦點(diǎn)三角形問題，屬中檔題．