Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）e^x定義域?yàn)閇-2，t]（t＞-2），設(shè)f（-2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（2）求證：n＞m．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，即可確定t的取值范圍；（2）f（x）在x=1處取得極小值f（1）=e，根據(jù)f（-2）=13e^-2＜e，可得f（x）僅在x=-2處取得[-2，t]上的最小值f（-2），從而當(dāng)t＞-2時(shí)，f（-2）＜f（t），故問(wèn)題得證．

解答：（1）解：因?yàn)閒′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x=x（x-1）•e^x．         2分
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減．            4分
欲使f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則[-2，t]⊆（-∞，0），
∴-2＜t≤0．                 6分
（2）證明：因?yàn)閒（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值f（1）=e.8分
又∵f（-2）=13e^-2＜e，所以f（x）僅在x=-2處取得[-2，t]上的最小值f（-2）.10分
從而當(dāng)t＞-2時(shí)，f（-2）＜f（t），即m＜n.12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值與最值，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．