Question

【題目】設圓C滿足三個條件①過原點；②圓心在y=x上；③截y軸所得的弦長為4，求圓C的方程．

Answer 1

【答案】解：根據題意畫出圖形，如圖所示：

當圓心C1在第一象限時，過C1作C1D垂直于x軸，C1B垂直于y軸，連接AC1 ，
由C1在直線y=x上，得到C1B=C1D，則四邊形OBC1D為正方形，
∵與y軸截取的弦OA=4，∴OB=C1D=OD=C1B=2，即圓心C1（2，2），
在直角三角形ABC1中，根據勾股定理得：AC1=2，
則圓C1方程為：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8；
當圓心C2在第三象限時，過C2作C2D垂直于x軸，C2B垂直于y軸，連接AC2 ，
由C2在直線y=x上，得到C2B=C2D，則四邊形OB′C2D′為正方形，∵與y軸截取的弦OA′=4，∴OB′=C2D′，
=OD′=C2B′=2，即圓心C2（﹣2，﹣2），
在直角三角形A′B′C2中，根據勾股定理得：A′C2=2，
則圓C1方程為：（x+2）2+（y+2）2=8，
∴圓C的方程為：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8或（x+2）2+（y+2）2=8．
【解析】分圓心C在第一象限和第三象限兩種情況，當圓心C1在第一象限時，過C1分別作出與x軸和y軸的垂線，根據角平分線的性質得到四邊形OBCD為正方形，連接C1A，由題意可知圓C與y軸截得的弦長為4，根據垂徑定理即可求出正方形的邊長即可得到圓心C的坐標，在直角三角形ABC中，利用勾股定理即可求出AC的長即為圓的半徑，由圓心和半徑寫出圓的方程；當圓心C在第三象限時，同理可得圓C的方程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓的標準方程的相關知識，掌握圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．