已知數(shù)列{an}中各項(xiàng)均為正數(shù),Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=
1
2
(a
 
2
n
+an).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(2)對(duì)n∈N*,試比較
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
與a2的大�。�
分析:Sn=
1
2
(an2+an)
,{an}中各項(xiàng)均為正數(shù)解得a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),Sn-Sn-1=an=
1
2
(an2+an)-
1
2
(an-12+an-1)
,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)對(duì)n∈N*,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn=
n(n+1)
2
,
1
Sn
=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1
),由此利用裂項(xiàng)求和法能夠推導(dǎo)出
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<a2
解答:解:(1)∵Sn=
1
2
(an2+an)
,
∴當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=
1
2
a12+a1),
又{an}中各項(xiàng)均為正數(shù)解得a1=1,…(2分)
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-Sn-1=an=
1
2
(an2+an)-
1
2
(an-12+an-1)
,…(4分)
∴2an=(an2+an)-(an-12+an-1),
an2+an-an-12-an-1-2an=0,
an2-an-12-an-1-an=0
∴(an-an-1)(an+an-1)-(an-1+an)=0,
∴(an-an-1-1)(an+an-1)=0,
∵{an}中各項(xiàng)均為正數(shù),∴an-an-1-1=0,
即an-an-1=1(n≥2),∴
a
 
n
=n
,(n≥2),…(6分)
又n=1時(shí),a1=1,∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n,(n∈N*).…(8分)
(2)對(duì)n∈N*,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,
Sn=
n(n+1)
2
1
Sn
=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1
),…(10分)
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
=2(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)=2(1-
1
n+1
),…(12分)
∵a2=2,∴
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
=2(1-
1
n+1
)<2=a2,
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<a2
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查兩個(gè)式式大小的比較,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.
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(Ⅰ)證明數(shù)列{xn}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)把數(shù)列{xn}中所有項(xiàng)按如圖所示的規(guī)律排成一個(gè)三角形數(shù)表,當(dāng)x3=8,x7=128時(shí),求第m行各數(shù)的和;
(Ⅲ)對(duì)于(Ⅱ)中的數(shù)列{xn},證明:
n
2
-
1
3
x1-1
x2-1
+
x2-1
x3-1
+…+
xn-1
xn+1-1
n
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2006•南匯區(qū)二模)已知數(shù)列{an}中,若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),則下列各不等式中一定成立的是( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:單選題

已知數(shù)列{an}中,若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),則下列各不等式中一定成立的是


  1. A.
    a2a4≤a32
  2. B.
    a2a4<a32
  3. C.
    a2a4≥a32
  4. D.
    a2a4>a32

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年浙江省臺(tái)州市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知數(shù)列{an}中,若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),則下列各不等式中一定成立的是( )
A.a(chǎn)2a4≤a32
B.a(chǎn)2a4<a32
C.a(chǎn)2a4≥a32
D.a(chǎn)2a4>a32

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年湖南省益陽(yáng)市沅江市高三質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷1(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知數(shù)列{an}中,若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),則下列各不等式中一定成立的是( )
A.a(chǎn)2a4≤a32
B.a(chǎn)2a4<a32
C.a(chǎn)2a4≥a32
D.a(chǎn)2a4>a32

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