Question

9．設(shè)點(diǎn)P在橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1上，點(diǎn)Q在直線y=x+4上，若|PQ|的最小值為$\sqrt{2}$，則m=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出與直線y=x+4平行且距離為$\sqrt{2}$的直線方程，利用該直線與橢圓相切，△=0，從而求出m的值．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1（m＞0），
與直線y=x+4平行且距離為$\sqrt{2}$的直線方程為y=x+2或y=x+6（舍去），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{m}=1}\end{array}\right.$，
消去y，得（m²+1）x²+4x+4-m²=0，
令△=16-4（m²+1）（4-m²）=0，
解得m²=3，
所以m=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓方程的應(yīng)用問題，也考查了方程與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題目．