Question

如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=AA′=AC=2，∠BAC=

2

3

π，點(diǎn)D，E分別是BC，A′B′的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACC′A′；
（Ⅱ）求二面角B′-AD-C′的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間角

分析：（Ⅰ）取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，A′F，由已知條件推導(dǎo)出DFA′E是平行四邊形，由此能證明DE∥平面ACC′A′．
（Ⅱ）在平面ABC中，以過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的直線(xiàn)為x軸，以直線(xiàn)AC為y軸，AA′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B′-AD-C′的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，A′F，
則DF∥AB，A′E∥AB，∴DF∥A′E，
∵DF=

1

2

AB，A′E=

1

2

AB，∴DF=A′E，
∴DFA′E是平行四邊形，∴ED∥A′F，
∵DE不包含于平面ACC′A′，A′F?平面ACC′A′，
∴DE∥平面ACC′A′．
（Ⅱ）在平面ABC中，以過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的直線(xiàn)為x軸，以直線(xiàn)AC為y軸，AA′為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得A（0，0，0），B（

3

，-1，0），
C（0，2，0），B′(

3

，-1，2)，C′（0，2，2），D（

3

2

，

1

2

，0），
∴

AD

=(

3

2

，

1

2

，0)，

AB

=(

3

，-1，2)，

AC

=（0，2，2），
設(shè)平面B′AD的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • AD = 3 2 x+ 1 2 y=0 m • AB = 3 x-y+2z=0

，
取x=1，得

m

=（1，-

3

，-

3

），
設(shè)平面C′AD的法向量

n

=（x1，y1，z1 ），
則

n • AD = 3 2 x1+ 1 2 y1=0 2y1+2z1=0

，
取x₁=1，得

n

=（1，-

3

，

3

），
設(shè)二面角B′-AD-C′的平面角為θ，
cosθ=cos＜

m

，

n

＞=

1-3+3

7 • 7

=

1

7

，
∴二面角B′-AD-C′的余弦值為

1

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．