Question

12．已知直線$\sqrt{6}x+2y-2\sqrt{6}=0$經(jīng)過(guò)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個(gè)頂點(diǎn)E和一個(gè)焦點(diǎn)F．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求過(guò)$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$與橢圓相切的直線方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$焦點(diǎn)在x軸上，求得直線$\sqrt{6}x+2y-2\sqrt{6}=0$與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則$b=\sqrt{6}$，c=2，a²=b²+c²=10，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）方法一：由（1）可知橢圓$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$，$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$在橢圓上，求導(dǎo)$\frac{2x}{10}+\frac{2y′y}{6}=0$，整理得：y′=-$\frac{3x}{5y}$，由切線的幾何意義可知：k=y′=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$，由直線的點(diǎn)斜式方程即可求得橢圓切線方程；
方法二：由橢圓上點(diǎn)（x₀，y₀）的切線方程為：$\frac{{x}_{0}x}{10}+\frac{{y}_{0}x}{6}=1$，將$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$代入即可求得橢圓切線方程．

解答 解：（1）依題意可知：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$焦點(diǎn)在x軸上，
直線$\sqrt{6}x+2y-2\sqrt{6}=0$與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為：（0，$\sqrt{6}$），（2，0），
∴$E（0，\sqrt{6}）$，F(xiàn)（2，0），
∴$b=\sqrt{6}$，c=2，
a²=b²+c²=10，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$．
（2）方法一：由（1）可知橢圓$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$，$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$在橢圓上，
求導(dǎo)$\frac{2x}{10}+\frac{2y′y}{6}=0$，整理得：y′=-$\frac{3x}{5y}$，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：橢圓在$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$切線方程的斜率k=y′（x=$\sqrt{5}$，y=$\sqrt{3}$）=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
則直線的切線方程為：y-$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x-$\sqrt{5}$），整理得：$\frac{{\sqrt{5}}}{10}x+\frac{{\sqrt{3}}}{6}y=1$，．
∴過(guò)$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$與橢圓相切的直線方程為$\frac{{\sqrt{5}}}{10}x+\frac{{\sqrt{3}}}{6}y=1$．
方法二：由（1）可知橢圓$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$，$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$在橢圓上，
由橢圓上點(diǎn)（x₀，y₀）的切線方程為：$\frac{{x}_{0}x}{10}+\frac{{y}_{0}x}{6}=1$，
代入即可求得：切線方程為$\frac{{\sqrt{5}}}{10}x+\frac{{\sqrt{3}}}{6}y=1$，
過(guò)$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$與橢圓相切的直線方程為$\frac{{\sqrt{5}}}{10}x+\frac{{\sqrt{3}}}{6}y=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查橢圓的切線方程的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．