Question

已知雙曲線

x2

2

-y2=1的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為動(dòng)點(diǎn)，若PF₁+PF₂=4．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E方程；
（Ⅱ）若A₁（-2，0），A₂（2，0），M（1，0），設(shè)直線l過點(diǎn)M，且與軌跡E交于R、Q兩點(diǎn)，直線A₁R與A₂Q交于點(diǎn)S．試問：當(dāng)直線l在變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫出這條定直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)雙曲線的方程為：

x2

2

-y²=1，則|FF₂|=2

3

，|PF₁|+|PF₂|=4＞|FF₂|，由此知點(diǎn)P的軌跡E是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，并能求出其方程．
（II）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，假設(shè)存在滿足條件的直線l在變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上，設(shè)直線a的方程為x=my+1，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用條件即可求得直線的方程，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）由題意知：F1(-

3

，0)，F(xiàn)(

3

，0)，
又∵PF₁+PF₂=4，
∴動(dòng)點(diǎn)P（x，y）必在以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，∴a=2，
又∵c=

3

，b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由題意，可設(shè)直線l為：x=my+1．
取m=0，得R(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)，直線A₁R的方程是y=

3

6

x+

3

3

，5
直線A₂Q的方程是y=

3

2

x-

3

，交點(diǎn)為S1(4，

3

)．
若R(1，-

3

2

)，Q(1，

3

2

)，由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為S2(4，-

3

)．
若點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為?：x=4．
以下證明對(duì)于任意的m，直線A₁R與直線A₂Q的交點(diǎn)S均在直線?：x=4上．
事實(shí)上，由

x2 4 +y2=1 x=my+1

，得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
記R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y1+y2=

-2m

m2+4

，y1y2=

-3

m2+4

．
設(shè)A₁R與?交于點(diǎn)S₀（4，y₀），由

y0

4+2

=

y1

x1+2

，得y0=

6y1

x1+2

．
設(shè)A₂Q與?交于點(diǎn)S₀^′（4，y₀^′），由

y0′

4-2

=

y2

x2-2

，得y0′=

2y2

x2-2

．
∵y0-y0′=

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=

6y1(my2-1)-2y2(my1+3)

(x1+2)(x2-2)

=

4my1y2-6(y1+y2)

(x1+2)(x2-2)

=

-12m m2+4 - -12m m2+4

(x1+2)(x2-2)

=0，
∴y₀=y₀^′，即S₀與S₀^′重合，
這說明，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線?：x=4上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．