Question

19．點(diǎn)M（x，y）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，則點(diǎn)M到直線x+y-4=0的距離的最大值為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（2$\sqrt{3}$cosα，2sinα），（0°≤α＜360°），點(diǎn)P到直線x+y-4=0的距離d公式，利用三角函數(shù)的有界性求出點(diǎn)P到直線x+y-4=0的距離的最大值．

解答 解：可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（2$\sqrt{3}$cosα，2sinα），（0°≤α＜360°）
∴點(diǎn)P到直線x+y-4=0的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosα+2sinα-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|4sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，
∴d_max=4$\sqrt{2}$．當(dāng)且僅當(dāng)sin（$α+\frac{π}{3}$）=-1時(shí)，取得最大值．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．