Question

如圖2-5-11，已知⊙O₁和⊙O₂相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A作⊙O₁的切線交⊙O₂于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交⊙O₁、⊙O₂于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P.

圖2-5-11

（1）求證：AD∥EC；

（2）若AD是⊙O₂的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長.

Answer 1

思路分析：（1）連結(jié)AB，利用⊙O₁的弦切角∠BAC過渡來證明∠D=∠E.（2）設(shè)BP=x，PE=y，利用相交弦定理和AD∥EC可以列出關(guān)于x、y的方程組，求出x、y，再用切割線定理求AD.

（1）證明：連結(jié)AB.

∵AC為⊙O₁的切線，∴∠BAC=∠D.

又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E.

∴AD∥EC.

（2）解：設(shè)PB=x，PE=y,∵AP=6，PC=2，∴xy=12.①

∵AD∥EC，∴，即.

∴9+x=3y.②

由①②解得

（舍去）.

∴DE=9+x+y=16.

∵AD為⊙O₂的切線，

∴AD²=DB·DE=9×16.

∴AD=12.

    深化升華 本例綜合運(yùn)用了弦切角定理、相交弦定理、切割線定理和平行線分線段成比例定理，綜合性較強(qiáng).在這里應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是利用代數(shù)方法解決幾何問題，特別是利用方程進(jìn)行計(jì)算、求值等，要建立運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想.