Question

已知函數(shù)f（x）=x²-px+3．
（1）若f（0）=f（4），求不等式f（x）≤0的解集；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求p的取值范圍；
（3）當(dāng)p=2時(shí)，若函數(shù)在[0，m]上的最大值為3，最小值為2，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出對(duì)稱軸，得到p的值，再解不等式即可．
（2）函數(shù)為開口向上，故對(duì)稱軸小于等于1，解得即可，
（3）利用對(duì)稱軸，求出函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（1）∵f（0）=f（4），
∴f（x）的對(duì)稱軸為x=2，
∴p=4，
所以不等式f（x）≤0，
即為x²-4x+3≤0，
所以其解集為{x|1≤x≤3}．
（2）∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸x=

p

2

在直線x=1的左側(cè)或與x=1重合，
即

p

2

≤1，
∴p≤2．
（3）當(dāng)p=2時(shí)，f（x）=x²-2x+3．其對(duì)稱軸為x=1，
f（x）_min=f（1）=2．
又f（0）=3，f（2）=3，
∴1≤m≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．