7.已知函數(shù)f(x)=$\frac{xlnx}{x-1}$,g(x)=-$\frac{1}{2}$a(x2-x-2),其中a∈R
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對任意x>0,不等式f(x+1)>g(x)恒成立,求a的取值范圍.

分析 (I) 求出f′(x)=$\frac{(lnx+1)(x-1)-xlnx}{(x-1)^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{(x-1)^{2}}$,(x>0,且x≠1),設(shè)μ(x)=x-lnx-1,則${μ}^{'}(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)由已知$φ(x)=ln({x+1})+\frac{1}{2}a{x^2}-ax>0$對x>0恒成立,$φ'(x)=\frac{1}{x+1}+ax-a=\frac{{a{x^2}+1-a}}{x+1}$,由此利用分類討論思想能求出a的取值范圍.

解答 解:(I)∵函數(shù)f(x)=$\frac{xlnx}{x-1}$,
∴f′(x)=$\frac{(lnx+1)(x-1)-xlnx}{(x-1)^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{(x-1)^{2}}$,(x>0,且x≠1),
設(shè)μ(x)=x-lnx-1,則${μ}^{'}(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$,
x∈(0,1)時,μ′(x)<0;x∈(1,+∞)時,μ′(x)<0,
∴u(x)在(0,1)上單減,在(1,+∞)上單增,
∴u(x)≥u(1)=0,
∴f(x)的增區(qū)間為(0,1),(1,+∞),無單調(diào)減區(qū)間.(5分)
(Ⅱ)∵?x>0,f(x+1)>g(x)成立,
即$φ(x)=ln({x+1})+\frac{1}{2}a{x^2}-ax>0$對x>0恒成立,
$φ'(x)=\frac{1}{x+1}+ax-a=\frac{{a{x^2}+1-a}}{x+1}$,(6分)
①當0≤a≤1時,φ'(x)≥0,則φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴φ(x)>φ(0)=0,滿足題意.(8分)
②當a>1時,令φ'(x)<0,則$0<x<\sqrt{\frac{a-1}{a}}$,
∴φ(x)在$(0,\sqrt{\frac{a-1}{a}})$上單調(diào)遞減,∴x∈$(0,\sqrt{\frac{a-1}{a}})$時,∴φ(x)<φ(0)=0,不滿足題意.(10分)
③當a<0時,令φ'(x)>0,則$0<x<\sqrt{\frac{a-1}{a}}$,
∴φ(x)在$(0,\sqrt{\frac{a-1}{a}})$上單調(diào)遞增,在$(\sqrt{\frac{a-1}{a}},+∞)$上單調(diào)遞減.(11分)
取${x_0}=2(1-\frac{1}{a})∈(\sqrt{\frac{a-1}{a}},+∞)$時,
當x>0時,ln(x+1)<x,
$φ({x_0})=ln({{x_0}+1})+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}<{x_0}+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}$,
∴$φ({x_0})<\frac{1}{2}a{x_0}^2+(1-a){x_0}=\frac{1}{2}a{x_0}[{x_0}-\frac{2(a-1)}{a}]=0$,不滿足題意.
綜上所述:a的取值范圍[0,1].(14分)
說明:∵$φ({x_0})=ln({{x_0}+1})+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}<{x_0}+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}$
在x→+∞時,${x_0}+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}→-∞$,不合題意,學(xué)生這樣做也可給滿分.

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、分類討論思想和構(gòu)造法的合理運用.

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