Question

已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且對(duì)任意的正整數(shù)n滿足2

Sn

=an+1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)bn=

1

an•an+1

，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Bn，求Bn范圍．

Answer 1

分析：（1）仿寫(xiě)一個(gè)等式，兩式相減，得到數(shù)列的項(xiàng)的遞推關(guān)系，據(jù)此遞推關(guān)系，判斷出數(shù)列是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)．
（2）將數(shù)列的通項(xiàng)裂成兩項(xiàng)的差，通過(guò)疊加相互抵消，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）由2

Sn

=a_n+1，n=1代入得a₁=1，
兩邊平方得4S_n=（a_n+1）²（1），
n≥2時(shí)，4S_n-1=（a_n-1+1）²（2），
（1）-（2），得4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴（a_n-1）²-（a_n-1+1）²=0（3分）
∴[（a_n-1）+（a_n-1+1）]•[（a_n-1）-（a_n-1+1）]=0，
由正數(shù)數(shù)列{a_n}，得a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴有a_n=2n-1；
（2）bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴B_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

•

2n

2n+1

=

n

2n+1

=

1

2

+

- 1 2

2n+1

，
∵n≥1，
∴2n+1≥3，
∴

1

3

≤B_n＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：若知數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系求通項(xiàng)，常采用仿寫(xiě)的方法；求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般先判斷通項(xiàng)的特點(diǎn)，然后采用合適的求和方法．