【題目】設(shè),其中,函數(shù)在點處的切線方程為,其中.
(1)求和并證明函數(shù)有且僅有一個零點;
(2)當(dāng)時,恒成立,求最小的整數(shù)的值.
【答案】(1),證明見解析;(2).
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)函數(shù)在點處的切線方程為,可得,即可求得的值,在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及特殊點的函數(shù)值,可判斷函數(shù)只有一個零點.
(2)當(dāng)時,,由此;猜想的最小值為,再證明,在時恒成立,即可求得.
解:(1)
所以定義域為
,
又因為函數(shù)在點處的切線方程為
所以
當(dāng)時,,即,解得
,函數(shù)在上單調(diào)遞減
由于,,則函數(shù)有且僅有一個零點.
(2)一方面,當(dāng)時,,由此;
所以猜想的最小值為,
下證:當(dāng)時,,在時恒成立,
記函數(shù),,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
;
記函數(shù),,在上單調(diào)減,在上單調(diào)減
,即;
,成立
又因為和不能同時在同一處取到最大值,
所以當(dāng)時,恒成立
所以最小整數(shù).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線經(jīng)過點,曲線的直角坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程,曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)若,是曲線上兩點,當(dāng)時,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù) F (x) = e x 滿足 F ( x) = g ( x) + h( x) ,且 g ( x), h( x) 分別是定義在 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù).
(1)求函數(shù) h(x)的反函數(shù);
(2)已知(x) = g(x 1),若函數(shù)(x)在 [1,3]上滿足(2 a+1) ,求實數(shù) a 的取值范圍;
(3)若對于任意 x ∈(0,2]不等式 g(2x) ah(x) ≥ 0 恒成立,求實數(shù) a 的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性;
(2)若有兩個極值點,,求實數(shù)的取值范圍,并證明.
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【題目】設(shè),已知函數(shù),.
(Ⅰ)設(shè),求在上的最大值.
(Ⅱ)設(shè),若的極大值恒小于0,求證:.
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【題目】某種植園在芒果臨近成熟時,隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果,其質(zhì)量分別在,,,,,(單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示.
(1)經(jīng)計算估計這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(2)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為,的芒果中隨機抽取6個,再從這6個中隨機抽取3個,求這3個芒果中恰有1個在內(nèi)的概率.
(3)某經(jīng)銷商來收購芒果,以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值,用樣本估計總體,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個,經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案:
A:所有芒果以10元/千克收購;
B:對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購,高于或等于250克的以3元/個收購,通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多?
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【題目】如圖所示,三棱柱的側(cè)面是圓柱的軸截面,C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個點。
(1)若圓柱的軸截面是正方形,當(dāng)點C是弧AB的中點時,求異面直線與AB的所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);
(2)當(dāng)點C是弧AB的中點時,求四棱錐體積與圓柱體積的比.
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【題目】每年的4月23日為“世界讀書日”,某調(diào)查機構(gòu)對某校學(xué)生做了一個是否喜愛閱讀的抽樣調(diào)查.該調(diào)查機構(gòu)從該校隨機抽查了100名不同性別的學(xué)生(其中男生45名),統(tǒng)計了每個學(xué)生一個月的閱讀時間,其閱讀時間(小時)的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)求樣本學(xué)生一個月閱讀時間的中位數(shù).
(2)已知樣本中閱讀時間低于的女生有30名,請根據(jù)題目信息完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為閱讀與性別有關(guān).
列聯(lián)表
男 | 女 | 總計 | |
總計 |
附表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 |
其中:.
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