Question

7．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3，x∈（-1，0]}\\{3-{x}^{2}，x∈（0，1]}\end{array}\right.$，且f（x）=f（x+2），g（x）=$\frac{3x-7}{x-2}$，則方程g（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[-3，7]上的所有零點(diǎn)之和為（　�。�

• A． 12
• B． 11
• C． 10
• D． 9

Answer 1

分析 分析兩函數(shù)的性質(zhì)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法可求．

解答 解：∵f（x）=f（x+2），∴函數(shù)f（x）為周期為2的周期函數(shù)，
函數(shù)g（x）=$\frac{3x-7}{x-2}=3-\frac{1}{x-2}$，其圖象關(guān)于點(diǎn)（2，3）對(duì)稱，如圖，函數(shù)f（x）的圖象也關(guān)于點(diǎn)（2，3）對(duì)稱，
函數(shù)f（x）與g（x）在[-3，7]上的交點(diǎn)也關(guān)于（2，3）對(duì)稱，
設(shè)A，B，C，D的橫坐標(biāo)分別為a，b，c，d，
則a+d=4，b+c=4，由圖象知另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，
故兩圖象在[-3，7]上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4+4+3=11，
即函數(shù)y=f（x）-g（x）在[-3，7]上的所有零點(diǎn)之和為11．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的周期性，函數(shù)的零點(diǎn)的概念，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法．屬于中檔題．