已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀，并求t=sinA+sinB的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，對任意的滿足題意的a，b，c都成立，求k的取值范圍．
分析：（Ⅰ）由條件
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
，化簡可得
CA
•
CB
=0．從而△ABC 是以C為直角頂點的直角三角形．喲與t=sinA+sinB=
2
sin（A+
π
4
），A∈（0，
π
2
），故可求sinA+sinB的取值范圍為(1，
2
]
（Ⅱ）條件a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，分離參數(shù)可得
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
≥k，從而問題轉(zhuǎn)化為求
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
的最小值，構(gòu)造函數(shù)f（t）=
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
=t+
1+t
t2-1
2
=t+
2
t-1
=t-1+
2
t-1
+1．從而問題可解．
解答：解：（Ⅰ）∵
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
，
∴
(AB)2
=
AB
(
AC
+
CB
)  +
CA
•
CB
，即
AB2
=
AB
•
AB
+
CA
•
CB
，即
CA
•
CB
=0．
∴△ABC 是以C為直角頂點的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
2
sin（A+
π
4
），A∈（0，
π
2
），
∴sinA+sinB的取值范圍為(1，
2
]．-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）在直角△ABC中，a=csinA，b=ccosA．
若a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，對任意的滿足題意的a、b、c都成立，
則有
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
≥k，對任意的滿足題意的a、b、c都成立，
∵
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc

=
1
c3sinAcosA
[c2sin2A（ccosA+c）+c2cos2A（csinA+c）+c2（csinA+ccosA）]
=
1
sinAcosA
[sin2AcosA+cos2A sinA+1+cosA+sinA]=cosA+sinA+
1+cosA+sinA
sinAcosA

令t=sinA+cosA，t∈(1，
2
]，-----------------------------------------（10分）
設(shè)f（t）=
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
=t+
1+t
t2-1
2
=t+
2
t-1
=t-1+
2
t-1
+1．
f（t）=t-1+
2
t-1
+1，當(dāng)t-1∈(0，
2
-1]時 f（t）為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當(dāng)t=
2
時取得最小值，最小值為2+3
2
，即k≤2+3
2
．
∴k的取值范圍為（-∞，2+3
2
]．--------------------------（14分）
點評：本題主要考查三角形形狀的判斷，考查不等式恒成立問題，有一定的綜合性．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A=60°，a=
15
，c=4，那么sinC=
2
5
5
2
5
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A（4，2），B（1，8），C（-1，8）．
（1）求AB邊上的高所在的直線方程；
（2）直線l∥AB，與AC，BC依次交于E，F(xiàn)，S△CEF：S△ABC=1：4．求l所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，a=2，b=1，C=60°，則邊長c=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，a=2
3
，若
m
=(-cos
A
2
，sin
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，sin
A
2
)滿足
m
•
n
=
1
2
．（1）若△ABC的面積S=
3
，求b+c的值．（2）求b+c的取值范圍．

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