Question

【題目】在如圖所示的數(shù)陣中每一行從左到右均是首項為1，項數(shù)為n的等差數(shù)列，設第行的等差數(shù)列中的第k項為2，3，，，公差為，若，，且，，，，也成等差數(shù)列．

Ⅰ求；

Ⅱ求關于m的表達式；

Ⅲ若數(shù)陣中第i行所有數(shù)之和，第j列所有數(shù)之和為，是否存在i，j滿足，使得成立？若存在，請求出i，j的一組值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），其中 ；（Ⅲ）不存在.

【解析】

本題的數(shù)陣中蘊涵著很多個等差數(shù)列，包括每一行都成等差數(shù)列，最后一列也成等差數(shù)列，每一行的公差也成等差數(shù)列，把握住這些，然后細心運算．

解：Ⅰ由題意，可知：

數(shù)陣中的第1行是以為首項，為公差的等差數(shù)列，

數(shù)陣中的第1行的最后一項．

又數(shù)陣中的第2行是以為首項，為公差的等差數(shù)列，

數(shù)陣中的第2行的最后一項．

數(shù)陣中的每行的最后一項，，，，也成等差數(shù)列．

．

Ⅱ由Ⅰ可知：

，．

數(shù)陣中的每行的最后一項，，，，是以為首項，為公差的等差數(shù)列．

等差數(shù)列，，，，中的第m項．

數(shù)陣第m行中第1項，最后一項第n項，而數(shù)陣第m行也是等差數(shù)列．

數(shù)陣第m行的公差．

，其中．

Ⅲ由題意及ⅠⅡ，可知：

數(shù)陣中第i行是以為首項，為公差的等差數(shù)列．

．

由Ⅱ可知：

是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．

．

，

，

，

，

，

等差數(shù)列．

假設成立，即．

整理，得：

要使此式成立，必須有：

，

解得：，很明顯，這與題中條件相矛盾．

不存在i，j的一組值，使得成立．