Question

求函數(shù)f（x）=x+

4

x

分別在下列區(qū)間上的值域：
（1）x∈（0，3]；
（2）x∈（1，5]；
（3）x∈[3，5]；
（4）x∈[-2，-1]；
（5）x∈[1，a]（a＞1）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：本題可以通過(guò)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)區(qū)間得到函數(shù)的極值，由函數(shù)極值和端點(diǎn)值，得到函數(shù)的值域，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x+

4

x

，
∴x≠0，
f′(x)=1-

4

x2

=

x2-4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

∴函數(shù)f（x）=x+

4

x

在區(qū)間（-∞，-2]上單調(diào)遞增，
在區(qū)間（-2，0）上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞減，
在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）當(dāng)x∈（0，3]時(shí)，
函數(shù)f（x）=x+

4

x

在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增．
f（2）=4，f（3）=3+

4

3

，
∴函數(shù)f（x）=x+

4

x

分別在區(qū)間（0，3]上的值域?yàn)閇4，+∞）．
（2）當(dāng)x∈（0，5]時(shí)，
函數(shù)f（x）=x+

4

x

在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2，5]上單調(diào)遞增．
f（2）=4，f（5）=5+

4

5

，
∴函數(shù)f（x）=x+

4

x

分別在區(qū)間（0，5]上的值域?yàn)閇4，+∞）．
（3）當(dāng)x∈[3，5]時(shí)，
函數(shù)f（x）=x+

4

x

在區(qū)間∈[3，5]上單調(diào)遞增．
∴f（3）≤f（x）≤f（5）．
∵f（3）=3+

4

3

=

13

3

，f（5）=5+

4

5

=

29

5

，
∴函數(shù)f（x）=x+

4

x

分別在區(qū)間[3，5]上的值域?yàn)閇

13

3

，

29

5

]．
（4）當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)，
函數(shù)f（x）=x+

4

x

在區(qū)間∈[-2，-1]]上單調(diào)遞減，
∴f（-1）≤f（x）≤f（-2）．
∵f（-2）=-4，f（-1）=-1-4=-5，
∴函數(shù)f（x）=x+

4

x

分別在區(qū)間[-2，-1]上的值域?yàn)閇-5．-4]．
（5）當(dāng)x∈[1，a]（a＞1）時(shí)，
①當(dāng)1＜a＜2時(shí)，
函數(shù)f（x）=x+

4

x

在區(qū)間[1，a]上單調(diào)遞減，
∴f（a）≤f（x）≤f（1），
即a+

4

a

≤f（x）≤5．
②當(dāng)2≤a≤4時(shí)，
函數(shù)f（x）=x+

4

x

在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
在區(qū)間[2，a]上單調(diào)遞增．在區(qū)間[2，4]上也單調(diào)遞增．
∵f（1）=5，f（2）=4，f（a）≤f（4）=5，
∴4≤f（x）≤5．
③當(dāng)a＞4時(shí)，
函數(shù)f（x）=x+

4

x

在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
在區(qū)間[2，a]上單調(diào)遞增．
∵f（1）=5，f（2）=4，f（a）＞f（4），
∴4≤f（x）≤a+

4

a

．
綜上，①當(dāng)1＜a＜2時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋篬a+

4

a

，5]；
②當(dāng)2≤a≤4時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋篬4，5]；
③當(dāng)a＞4時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋篬4，a+

4

a

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，還考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，本題難度適中，屬于中檔題．