Question

已知二次函數(shù)f（x）的圖象頂點(diǎn)為A（0，15），且圖象在x軸上截得線段長(zhǎng)為8．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)
（3）若g（x）=|f（x）|，試畫(huà)出函數(shù)g（x）的圖象（只畫(huà)草圖）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出函數(shù)式子f（x）=a（x-4）（x+4）=a（x²-16），利用A（0，15）求解即可．（2）根據(jù)單調(diào)性定義作差證明．（3）畫(huà)出函數(shù)圖象判斷即可．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）的圖象頂點(diǎn)為A（0，15），且圖象在x軸上截得線段長(zhǎng)為8．
∴設(shè)f（x）=a（x-4）（x+4）=a（x²-16），f（0）=15，
∴a=-

15

16

，
∴f（x）=-

15

16

x²+15，
（2）∵設(shè)1＜x₁＜x₂，f（x₁）=-

15

16

x₁²+15，f（x₂）=-

15

16

x₂²+15，
∴f（x₁）-f（x₂）=-

15

16

（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∵x₁+x₂＞2，x₁-x₂＜0
∴

15

16

（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)
（3）g（x）=|f（x）|，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解析式的特征，待定系數(shù)思想，畫(huà)函數(shù)的圖象，屬于中檔題．