Question

已知函數f（x）=log₂（x+1），將y=f（x）的圖象向左平移1個單位，再將圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象，求函數F（x）=f（x）-g（x）的最大值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,函數的圖象與圖象變化

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：根據函數的圖象的平移變換和伸縮變換規(guī)律求得函數g（x）的解析式．根據y=F（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）-2log₂（x+2）=log₂

x+1

(x+2)2

，且x＞-1利用基本不等式求得u的最大值為

1

4

，再由F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函數，求得函數y=F（x）的最大值．

解答： 解：將函數f（x）=log₂（x+1）的圖象向左平移1個單位，可得函數y=log₂（x+2）的圖象，
再將圖象上的所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），得到函數y=2log₂（x+2）的圖象，
故函數g（x）=2log₂（x+2），且x＞-2．
函數y=F（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）-2log₂（x+2）=log₂

x+1

(x+2)2

，且x＞-1
令u（x）=

x+1

(x+2)2

，x＞-1
令t=x+1，則u=

1

t+ 1 t +2

≤

1

4

，當且僅當x=0時取等號．
故F（x）=log₂u，由于F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函數，
故當x=0時，即u=

1

4

時，函數y=F（x）=log₂u取得最大值為-3．

點評：本題主要考查函數的圖象的平移變換和伸縮變換，基本不等式的應用，利用函數的單調性求函數的最值，屬于中檔題．