Question

18．已知x＞0，y＞0，若2y²+8x²-（m²-2m）xy＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． -2＜m＜4
• B． -4＜m＜2
• C． 2＜m＜4
• D． -4＜m＜4

Answer 1

分析 將不等式2y²+8x²-（m²-2m）xy＞0恒成立轉(zhuǎn)化為m²-2m＜（$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$）_min，利用基本不等式可求得（$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$）_min，再解不等式m²-2m＜8即可得到答案．

解答 解：2y²+8x²-（m²-2m）xy＞0恒成立?m²-2m＜$\frac{{2y}^{2}+{8x}^{2}}{xy}$=$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$恒成立?m²-2m＜（$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$）_min，
x＞0，y＞0，$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$≥2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{8x}{y}}$=8（當(dāng)且僅當(dāng)y=2x時(shí)取等號(hào)），
即（$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$）_min=8，
所以，m²-2m＜8，
解得：-2＜m＜4，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)是關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．