已知向量
a
=(cos(x-
π
4
),sin(x-
π
4
))
,
b
=(cos(x+
π
4
),-sin(x+
π
4
))
,f(x)=
a
b
-k|
a
+
b
|
,x∈[0,π].
(1)若x=
12
,求
a
b
|
a
+
b
|
;
(2)若k=1,當(dāng)x為何值時(shí),f(x)有最小值,最小值是多少?
(3)若f(x)的最大值為3,求k的值.
分析:(1)利用向量的數(shù)量積,化簡(jiǎn)表達(dá)式,代入x=
12
,求
a
b
的值,直接求出|
a
+
b
|
的表達(dá)式,代入x=
12
求出值即可.
(2)若k=1,當(dāng)x為何值時(shí),化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的表達(dá)式,利用二次函數(shù)直接求出函數(shù)的最小值.
(3)借助(2)推出函數(shù)的表達(dá)式,通過換元法對(duì)函數(shù)的對(duì)稱軸是否在區(qū)間討論,通過f(x)的最大值為3,直接求出k的值.
解答:解:(1)由題意可知
a
b
=(cos(x-
π
4
),sin(x-
π
4
))• (cos(x+
π
4
),-sin(x+
π
4
))

=cos(x-
π
4
)•cos(x+
π
4
)- sin(x-
π
4
)•sin(x+
π
4
)

=cos2x,∵x=
12
,∴
a
b
=cos2x=-
3
2

|
a
+
b
|
=|(cos(x-
π
4
)+cos(x+
π
4
),- sin(x-
π
4
)+sin(x+
π
4
))|

=
(cos(x-
π
4
)+cos(x+
π
4
)
2
+(-sin(x-
π
4
)+sin(x+
π
4
))
2

=
2+2cos2x
=
2-
3
=
6
-
2
2

(2)k=1,f(x)=
a
b
-k|
a
+
b
|
=
a
b
-|
a
+
b
|

=2cos2x-2|cosx|-1
當(dāng)x=
π
3
或x=
3
時(shí),函數(shù)f(x)有最小值f(x)min=-
3
2
;
(3)由(2)可知f(x)=2cos2x-2k|cosx|-1
設(shè)|cosx|=t,由x∈[0,π]
則:f(x)=g(t)=2t2-2kt-1,t∈[0,1]
當(dāng):
k
2
1
2
?k≤1
時(shí),f(x)max=g(1)=2-2k-1=3?k=-1
k≤1
k=-1
?k=-1
,
當(dāng):
k
2
1
2
?k>1
時(shí),f(x)max=g(0)=-1≠3,
綜上之:k=-1.
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),向量的數(shù)量積與向量的模的應(yīng)用,考查換元法以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用,難度較大.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(-cosα,1+sinα)
b
=(2sin2
α
2
,sinα)

(Ⅰ)若|
a
+
b
|=
3
,求sin2α的值;
(Ⅱ)設(shè)
c
=(cosα,2)
,求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosωx-sinωx,sinωx)
b
=(-cosωx-sinωx,2
3
cosωx)
,其中ω>0,且函數(shù)f(x)=
a
b
(λ為常數(shù))的最小正周期為π.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的圖象的對(duì)稱軸;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
4
,0)
,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,
12
]
上的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos
θ
2
,sin
θ
2
)
,
b
=(2,1)
,且
a
b

(1)求tanθ的值;
(2 )求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
),  sin(ωx-
π
4
)),  
b
=(sin(
2
3
π-ωx), sin(ωx+
π
4
))
(其中ω>0).若函數(shù)f(x)=2
a
b
-1
的圖象相鄰對(duì)稱軸間距離為
π
2

(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)在[-
π
12
,  
π
2
]
上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosθ,sinθ),
b=
(cos2θ-1,sin2θ),
c
=(cos2θ,sin2θ-
3
)
.其中θ≠kπ,k∈Z.
(1)求證:
a
b
;
(2)設(shè)f(θ)=
a
c
,且θ∈(0,π),求f(θ)
的值域.

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