Question

15．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)$z=\frac{{{{（{1+i}）}^2}+3（{1-i}）}}{2+i}$，若z²+az+b=1+i，求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求得z，代入z²+az+b=1+i，再由復(fù)數(shù)相等的條件求得a，b的值．

解答 解：$z=\frac{{{{（{1+i}）}^2}+3（{1-i}）}}{2+i}$=$\frac{{2i+3（{1-i}）}}{2+i}$=$\frac{3-i}{2+i}$=$\frac{{（{3-i}）（{2-i}）}}{{（{2+i}）（{2-i}）}}$=$\frac{5-5i}{5}=1-i$．
將z=1-i代入z²+az+b=1+i，得（1-i）²+a（1-i）+b=1+i，
即（a+b）-（a+2）i=1+i．
由復(fù)數(shù)相等的定義可知$\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\-（{a+2}）=1\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=4\end{array}\right.$．

點評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題．