Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
18.如圖,四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB與△PAD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,E是BC的中點(diǎn).
(1)求證:AE∥平面PCD;
(2)記平面PAB與平面PCD的交線為l,求二面角C-l-B的余弦值.

分析 (1)推導(dǎo)出四邊形ADCE是平行四邊形,從而AE∥CD,由此能證明AE∥平面PCD.
(2)連結(jié)DE、BD,設(shè)AE∩BD于O,連結(jié)PO,推導(dǎo)出AE⊥BD,PO⊥BD,PO⊥AO,從而PO⊥平面ABCD,以O(shè)為原點(diǎn),OE為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角C-l-B的余弦值.

解答 證明:(1)∵∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,E是BC的中點(diǎn),
∴AD∥CE,且AD=CE,
∴四邊形ADCE是平行四邊形,∴AE∥CD,
∵AE?平面PCD,CD?平面PCD,
∴AE∥平面PCD.
解:(2)連結(jié)DE、BD,設(shè)AE∩BD于O,連結(jié)PO,
則四邊形ABED是正方形,∴AE⊥BD,
∵PD=PB=2,O是BD中點(diǎn),∴PO⊥BD,
則PO=PB2OB2=42=2,
又OA=2,PA=2,∴PO2+OA2=PA2,
∴△POA是直角三角形,∴PO⊥AO,
∵BD∩AE=O,∴PO⊥平面ABCD,
以O(shè)為原點(diǎn),OE為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則P(0,0,2),A(-200),B(0,2,0),E(200),D(0,-2,0),
PA=(-202),PB=(0,22),PD=(0,22),AE=(22,0,0),
設(shè)n=(x,y,z)是平面PAB的法向量,
{nPA=2x2z=0nPB=2y2z=0,取x=1,得n=111,
設(shè)m=(a,b,c)是平面PCD的法向量,
{mPD=2b2c=0mAE=22a=0,取b=1,得m=(0,1,-1),
cos<mn>=032=0,
∴二面角C-l-B的余弦值為0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

8.復(fù)數(shù)z=2-i(i是虛數(shù)單位)的虛部為( �。�
A.-iB.iC.-1D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

9.若直線x-y+m=0被圓(x-1)2+y2=5截得的弦長(zhǎng)為23,則m的值為( �。�
A.1B.-3C.1或-3D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

6.某學(xué)校用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取了100名同學(xué),對(duì)其日均課外閱讀時(shí)間(單位:分鐘)進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果如下:
t[0,15)[15,30)[30,45)[45,60)[60,75)[75,90)
男同學(xué)人數(shù)711151221
女同學(xué)人數(shù)89171332
若將日均課外閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷”.
(1)將頻率視為概率,估計(jì)該校4000名學(xué)生中“讀書迷”有多少人?
(2)從已抽取的8名“讀書迷”中隨機(jī)抽取4位同學(xué)參加讀書日宣傳活動(dòng).
(i)求抽取的4位同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率;
(ii)記抽取的“讀書迷”中男生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

13.已知z=3i1i,則復(fù)數(shù)¯z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( �。�
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

3.若直線2x+y+m=0過(guò)圓x2+y2-2x+4y=0的圓心,則m的值為0.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

10.如圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在區(qū)間[-π3,2π3]上的圖象,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象.只需將y=cosx(x∈R)的圖象上的所有點(diǎn)( �。�
A.向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍
B.向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度.再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍
C.把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12,再向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度
D.把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12,再向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

7.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π6)-4cos2ωx2+3(其中ω>0,x∈R).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的值域;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=1的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為π2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2016-2017學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二上學(xué)期入學(xué)考數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:填空題

觀察新生嬰兒的體重,其頻率分布直方圖如圖所示,則新生嬰兒體重在的頻率為

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案