Question

定義雙曲正弦函數(shù)y=sin hx=（e^x-e^-x），雙曲余弦函數(shù)y=cos hx=（e^x+e^-x）．
（1）各寫出四條雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)．（定義域除外）
（2）給出雙曲正切函數(shù)、雙曲余切函數(shù)、雙曲正割函數(shù)和雙曲余割函數(shù)的定義式，探究并證明六者間的平方關(guān)系．
（3）模仿三角函數(shù)中兩角的和與差關(guān)系，探究并證明雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)和雙曲正切函數(shù)的“兩角”和與差關(guān)系．

Answer 1

解：（1）sin hx=（e^x-e^-x） 奇函數(shù)，單調(diào)遞增，無(wú)周期性，值域?yàn)镽．
cos hx=（e^x+e^-x） 偶函數(shù)，R上無(wú)單調(diào)，無(wú)周期性，值域?yàn)閇1，+∞）．
（2）tan hx=；cot hx=；sec hx=；csc hx=．
cos h²（x）-sin h²（x）=1；cot h²（x）-csc h²（x）=1；tan h²（x）+sec h²（x）=1．
（3）sin h（x+y）=sin h（x）•cos h（y）+cos h（x）•sin h（y），
sin h（x-y）=sin h（x）•cos h（y）-cos h（x）•sin h（y），
cos h（x+y）=cos h（x）•cos h（y）+sin h（x）•sin h（y），
cos h（x-y）=cos h（x）•cos h（y）-sin h（x）•sin h（y），
tan h（x+y）=；tan h（x-y）=．
分析：（1）由sin hx=（e^x-e^-x） 是奇函數(shù)，單調(diào)遞增，無(wú)周期性，值域?yàn)镽．同理寫出cos hx=（e^x+e^-x）的性質(zhì)．
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得雙曲正切函數(shù)、雙曲余切函數(shù)、雙曲正割函數(shù)和雙曲余割函數(shù)的定義式，計(jì)算求得 cos h²（x）-sin h²（x）=1；cot h²（x）-csc h²（x）=1；tan h²（x）+sec h²（x）=1．
（3）利用兩角和差的三角公式，寫出sin h（x+y）、sin h（x-y）、cos h（x+y）、tan h（x+y）及tan h（x-y ）的表達(dá)式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的三角公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．