【題目】如圖，為正三角形，且，，將沿翻折.

（1）若點(diǎn)的射影在上，求的長；

（2）若點(diǎn)的射影在中，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長.

【答案】（1）2 （2）.

【解析】

（1）過A作交于E，取中點(diǎn)O，連接，，先證明平面和，求出，，再求的長；

（2）以O為原點(diǎn)，以為x軸，以為y軸，以平面的過O的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)二面角為，，利用向量法求出，即得點(diǎn)坐標(biāo)和的長.

（1）過A作交于E，則平面.

取中點(diǎn)O，連接，，

∵平面，平面，

∴，

又是正三角形，∴，

又，AE，平面，

∴平面，∴.

又，O為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn).

∵，∴，，，

∴，.

∴；

（2）取中點(diǎn)為過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為,連接,

因?yàn)?/span>.

以O為原點(diǎn)，以為x軸，以為y軸，以平面的過O的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)二面角為，

因?yàn)?/span>平面，與（1）同理可證平面，

，，

則，，，.

∴，，

，

設(shè)平面的法向量為，

則，

令，得.

∴，

解得.

∴，又，

∴.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】垃圾分類，是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、分類投放和分類搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱．分類的目的是提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，力爭物盡其用．2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法．到2020年底，先行先試的46個(gè)重點(diǎn)城市，要基本建成垃圾分類處理系統(tǒng)；其他地級(jí)城市實(shí)現(xiàn)公共機(jī)構(gòu)生活垃圾分類全覆蓋．某機(jī)構(gòu)欲組建一個(gè)有關(guān)“垃圾分類”相關(guān)事宜的項(xiàng)目組，對(duì)各個(gè)地區(qū)“垃圾分類”的處理模式進(jìn)行相關(guān)報(bào)道．該機(jī)構(gòu)從600名員工中進(jìn)行篩選，篩選方法：每位員工測試，，三項(xiàng)工作，3項(xiàng)測試中至少2項(xiàng)測試“不合格”的員工，將被認(rèn)定為“暫定”，有且只有一項(xiàng)測試“不合格”的員工將再測試，兩項(xiàng)，如果這兩項(xiàng)中有1項(xiàng)以上（含1項(xiàng)）測試“不合格”，將也被認(rèn)定為“暫定”，每位員工測試，，三項(xiàng)工作相互獨(dú)立，每一項(xiàng)測試“不合格”的概率均為．

（1）記某位員工被認(rèn)定為“暫定”的概率為，求；

（2）每位員工不需要重新測試的費(fèi)用為90元，需要重新測試的總費(fèi)用為150元，除測試費(fèi)用外，其他費(fèi)用總計(jì)為1萬元，若該機(jī)構(gòu)的預(yù)算為8萬元，且該600名員工全部參與測試，問上述方案是否會(huì)超過預(yù)算?請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某普通高中為了解本校高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對(duì)一�？荚嚁�(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，從中抽取了名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（該校全體學(xué)生的成績均在），按下列分組，，，，，，，，作出頻率分布直方圖，如圖；樣本中分?jǐn)?shù)在內(nèi)的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖：

根據(jù)往年錄取數(shù)據(jù)劃出預(yù)錄分?jǐn)?shù)線，分?jǐn)?shù)區(qū)間與可能被錄取院校層次如表．

（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；

（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為概率，若在該校高三年級(jí)學(xué)生中任取人，求此人都不能錄取為專科的概率；

（3）在選取的樣本中，從可能錄取為自招和專科兩個(gè)層次的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，用表示所抽取的名學(xué)生中為自招的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測量中的應(yīng)用，英國天文學(xué)家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足.其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，則與最接近的是(當(dāng)較小時(shí)， )

A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某冷飲店的經(jīng)營狀況，隨機(jī)記錄了該店月的月營業(yè)額（單位：萬元）與月份的數(shù)據(jù)，如下表：

（1）求關(guān)于的回歸直線方程；

（2）若在這樣本點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，求恰有一點(diǎn)在回歸直線上的概率.

附：回歸直線方程中，

，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某教研機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取某校20個(gè)班級(jí)，調(diào)查各班關(guān)注漢字聽寫大賽的學(xué)生人數(shù)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖，以組距為5將數(shù)據(jù)分組成時(shí)，所作的頻率分布直方圖如圖所示，則原始莖葉圖可能是（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，F為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上的點(diǎn)，且，若雙曲線C中心在原點(diǎn)，F是它的一個(gè)焦點(diǎn)，且過P點(diǎn)，當(dāng)m取最小值時(shí)，雙曲線C的離心率為______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：恒成立，則稱此直線的“隔離直線”，已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，有下列命題：

①內(nèi)單調(diào)遞增；

②之間存在“隔離直線”，且b的最小值為；

③之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是；

④之間存在唯一的“隔離直線”．

其中真命題的序號(hào)為__________．(請?zhí)顚懻_命題的序號(hào))

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