Question

如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E、F 分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過直線E、F的平面分別與棱BB′，DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個(gè)命題：
①當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，四邊形MENF的周長(zhǎng)最大；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時(shí)，四邊形MENF的面積最�。�
③四棱錐C′-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)；
④正方體ABCD-A′B′C′D′被截面MENF平分成等體積的兩個(gè)多面體．
以上命題中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①判斷周長(zhǎng)的變化情況．②四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可．③求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷．④計(jì)算兩個(gè)多面體的體積關(guān)系．

解答： 解：①因?yàn)镋F⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．
當(dāng)x∈[0，

1

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]時(shí)，EM的長(zhǎng)度由大變�。�
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，EM的長(zhǎng)度由小變大．
所以當(dāng)x=0或x=1時(shí)周長(zhǎng)都為最大值．所以①錯(cuò)誤；
②連結(jié)MN，因?yàn)镋F⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，
四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，
所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可，
此時(shí)當(dāng)M為棱的中點(diǎn)時(shí)，即x=

1

2

時(shí)，此時(shí)MN長(zhǎng)度最小，
對(duì)應(yīng)四邊形MENF的面積最小．所以②正確；
③連結(jié)C'E，C'M，C'N，則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，
它們以C'EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．
因?yàn)槿�角形C'EF的面積是個(gè)常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個(gè)常數(shù)，
所以四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以③正確；
④因?yàn)镋，F(xiàn)是固定的中點(diǎn)，
所以當(dāng)M在運(yùn)動(dòng)時(shí)，AM=D'N，DN=B'M，
所以被截面MENF平分成的兩個(gè)多面體是完全相同的，
所以它們的體積也是相同的．所以④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題和函數(shù)進(jìn)行的有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)巧妙，對(duì)學(xué)生的解題能力要求較高．