Question

9．已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ x-3y≤-2\\ x≥1\end{array}\right.$，則目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值為2，則$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． 8
• D． 17

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求則的最小值．

解答 解：由約束條件得到可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）
即y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$的最小值為2是過(guò)圖中A（1，1）得到，所以a+b=2，所以a+b=2≥2$\sqrt{ab}$，
所以ab≤1，則$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$≥$\frac{2}{ab}$≥2；
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線(xiàn)性規(guī)劃題目的常用方法．