Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線C參數(shù)方程為

x= 3 cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-

π

4

)=2

2

．
（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離，并求出這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用兩角差的余弦公式及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線l的普通方程；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，消去θ可得曲線C的普通方程；
（2）由點(diǎn)到直線的距離公式、兩角和的正弦公式，及正弦函數(shù)的有界性求得點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．

解答：解：（1）由ρcos(θ-

π

4

)=2

2

，
得ρ（cosθ+sinθ）=4，
∴l(xiāng)：x+y-4=0，
∵

x= 3 cosθ y=sinθ

，（θ為參數(shù)），
∴消去參數(shù)得

x2

3

+y2=1，
∴曲線C的普通方程為

x2

3

+y2=1和直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0；
（2）在C：

x= 3 cosθ y=sinθ

上任取一點(diǎn)（

3

cosθ，sinθ），
則點(diǎn)P到直線l的距離為d=

| 3 cosθ+sinθ-4|

2

=

|2sin(θ+ π 3 )-4|

2

≤3

2

，
∴當(dāng)sin（θ+

π

3

）=-1時(shí)，d_max=3

2

，
此時(shí)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

2

，-

1

2

）．

點(diǎn)評：本小題主要考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線距離公式、三角變換等內(nèi)容．屬于中檔題．