【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 直線l經(jīng)過F2且交橢圓C于A,B兩點(diǎn)(如圖),△ABF1的周長為4 ,原點(diǎn)O到直線l的最大距離為1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過F2作弦AB的垂線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),求四邊形AMBN面積最小時直線l的方程.

【答案】
(1)解:由題意知, ,c=1,

,

又∵a2=b2+c2,∴b=1,

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ;


(2)解:當(dāng)直線AB的斜率不存在時,

, ,∴ ;

當(dāng)直線AB的斜率為0時, ,∴

當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時,

設(shè)直線AB的方程為y=k(x﹣1),則直線MN的方程為 ,

聯(lián)立 得:(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

,

∴|AB|= = =

同理|MN|= ,

|AB||MN|= ,

令t=k2+1(t≥1), ,

當(dāng) .即k2+1=2,即k=±1時,

此時設(shè)直線AB的方程為y=±(x﹣1)


【解析】(1)由題意可得a,c的值,由隱含條件求得b的值,則橢圓方程可求;(2)分類求出直線AB的斜率不存在、斜率為0時的四邊形AMBN面積,在設(shè)出斜率存在且不為0時的直線方程,聯(lián)立直線方程和橢圓方程利用弦長公式求得|AB|、|MN|的長度,代入四邊形面積公式,換元后利用配方法求得最值,同時得到邊形AMBN面積最小時直線l的方程.

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