【題目】過(guò)拋物線)的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線C于M,N兩點(diǎn),且.
(1)求p的值;
(2)拋物線C上一點(diǎn),直線(其中)與拋物線C交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn)(A,B均與點(diǎn)Q不重合).設(shè)直線QA,QB的斜率分別為.
(i)直線l是否過(guò)定點(diǎn)?如果是,請(qǐng)求出所有定點(diǎn);如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(ii)設(shè)點(diǎn)T在直線l上,且滿足,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí),求直線l的方程.
【答案】(1);
(2)(i)直線恒過(guò)定點(diǎn);
(i i)T與H重合時(shí)線段最長(zhǎng),此時(shí)直線方程為.
【解析】
(1)根據(jù)題意設(shè)出直線,聯(lián)立直線與拋物線根據(jù)即可求出
(2)(i)點(diǎn)聯(lián)立直線與拋物線C,即可得到,.又,代入直線,即可得出直線恒過(guò)定點(diǎn),
(i i)設(shè)動(dòng)點(diǎn),由得動(dòng)點(diǎn)在,即與重合時(shí)線段最長(zhǎng),及可求出直線方程為。
(1)拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè)直線MN方程為
聯(lián)立拋物線方程可得
故:,
,解得
(2)(i)由(1)知拋物線C方程為,從而點(diǎn),設(shè),
,
,,.
由
可得,即,從而該式滿足式
即直線恒過(guò)定點(diǎn)
(i i)設(shè)動(dòng)點(diǎn),,
∴動(dòng)點(diǎn)在,故與重合時(shí)線段最長(zhǎng),
此時(shí)直線,即:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左,右焦點(diǎn)分別為,且與短軸的一個(gè)端點(diǎn)Q構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形,點(diǎn)P()在橢圓上,過(guò)點(diǎn)作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB,CD分別交橢圓于A,B,C,D且M,N分別是弦AB,CD的中點(diǎn)
(1)求橢圓的方程
(2)求證:直線MN過(guò)定點(diǎn)R()
(3)求面積的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高一某班的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖因事故都受到不同程度的損壞,但可見(jiàn)部分如下,據(jù)此解答如下問(wèn)題:
(1)求分?jǐn)?shù)在[50,60)的頻率及全班人數(shù);
(2)求分?jǐn)?shù)在[80,90)的頻數(shù),并計(jì)算頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高;
(3)若規(guī)定:90分(包含90分)以上為優(yōu)秀,現(xiàn)從分?jǐn)?shù)在80分(包含80分)以上的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況,求在抽取的試卷中至少有一份優(yōu)秀的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題p:指數(shù)函數(shù)在R上是單調(diào)減函數(shù);命題q:關(guān)于x的方程有實(shí)根,
(1)若p為真,求a的范圍
(2)若q為真,求的范圍
(3)若p或q為真,p且q為假,求實(shí)數(shù)a的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面,,,若為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求異面直線和所成角;
(3)設(shè)線段上有一點(diǎn),當(dāng)與平面所成角的正弦值為時(shí),求的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某省確定從2021年開(kāi)始,高考采用“”的模式,取消文理分科,即“3”包括語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ),為必考科目;“1”表示從物理、歷史中任選一門(mén);“2”則是從生物、化學(xué)、地理、政治中選擇兩門(mén),共計(jì)六門(mén)考試科目.某高中從高一年級(jí)2000名學(xué)生(其中女生900人)中,采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)已知抽取的名學(xué)生中含男生110人,求的值及抽取到的女生人數(shù);
(2)學(xué)校計(jì)劃在高二上學(xué)期開(kāi)設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個(gè)科目,為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況,對(duì)在(1)的條件下抽取到的n名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目).下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表,請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?
說(shuō)明你的理由;
(3)在(2)的條件下,從抽取的選擇“物理”的學(xué)生中按分層抽樣抽取6人,再?gòu)倪@6名學(xué)生中抽取2人,對(duì)“物理”的選課意向作深入了解,求2人中至少有1名女生的概率.
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.
(1)若a=2,試求函數(shù)y=(x>0)的最小值;
(2)對(duì)于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,試求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某科技公司新研制生產(chǎn)一種特殊疫苗,為確保疫苗質(zhì)量,定期進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).某次檢驗(yàn)中,從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件作為樣本,測(cè)量產(chǎn)品質(zhì)量體系中某項(xiàng)指標(biāo)值,根據(jù)測(cè)量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖:
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)技術(shù)分析人員認(rèn)為,本次測(cè)量的該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布,若同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替,計(jì)算,并計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)落在(187.8,212.2)內(nèi)的概率;
(3)設(shè)生產(chǎn)成本為y元,質(zhì)量指標(biāo)值為,生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)值之間滿足函數(shù)關(guān)系假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替,試計(jì)算生產(chǎn)該疫苗的平均成本.
參考數(shù)據(jù):,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠利用輻射對(duì)食品進(jìn)行滅菌消毒,現(xiàn)準(zhǔn)備在該廠附近建一職工宿舍,并對(duì)宿舍進(jìn)行防輻射處理,建房防輻射材料的選用與宿舍到工廠距離有關(guān).若建造宿舍的所有費(fèi)用p(萬(wàn)元)和宿舍與工廠的距離x(km)的關(guān)系為,若距離為1km時(shí),測(cè)算宿舍建造費(fèi)用為100萬(wàn)元.為了交通方便,工廠與宿舍之間還要修一條道路,已知購(gòu)置修路設(shè)備需5萬(wàn)元,鋪設(shè)路面每公里成本為6萬(wàn)元,設(shè)f(x)為建造宿舍與修路費(fèi)用之和.
(1)求f(x)的表達(dá)式
(2)宿舍應(yīng)建在離工廠多遠(yuǎn)處,可使總費(fèi)用f(x)最小并求最小值.
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