Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，比較與1的大小；

（2）當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對(duì)于一切正整數(shù)，都有.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ；（2）或；(3)證明見(jiàn)解析．

【解析】試題分析： （1）當(dāng)時(shí)， ，其定義域?yàn)?/span>，令 在上是增函數(shù)故當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；（2）當(dāng)時(shí) ，其定義域?yàn)?/span>，令

當(dāng)或時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增 的極大值為，極小值為，又當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ， 或；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論知當(dāng)時(shí)， 即當(dāng)時(shí)， ，令

所以．

試題解析： （1）當(dāng)時(shí)， ，其定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以在上是增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)，

（2）當(dāng)時(shí)， ，其定義域?yàn)?/span>，

，令得，

因?yàn)楫?dāng)或時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增且的極大值為，極小值為，又當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

因?yàn)楹瘮?shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)．所以或；

（3）根據(jù)（1）的結(jié)論知當(dāng)時(shí)， ．

即當(dāng)時(shí)， ，即令，則有，

從而得，

故得，

即，

所以．