Question

13．如圖，在斜三梭柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C是菱形，AC₁與A₁C交于點(diǎn)O，E是棱AB上一點(diǎn)，且OE∥平面BCC₁B₁
（1）求證：E是AB中點(diǎn)；
（2）若AC₁⊥A₁B，求證：AC₁⊥BC．

Answer 1

分析 （1）利用同一法，首先通過連接對(duì)角線得到中點(diǎn)，進(jìn)一步利用中位線，得到線線平行，進(jìn)一步利用線面平行的判定定理，得到結(jié)論．
（2）利用菱形的對(duì)角線互相垂直，進(jìn)一步利用線面垂直的判定定理，得到線面垂直，最后轉(zhuǎn)化成線線垂直．

解答 證明：（1）連結(jié)BC₁，取AB中點(diǎn)E′，
∵側(cè)面AA₁C₁C是菱形，AC₁與A₁C交于點(diǎn)O，
∴O為AC₁的中點(diǎn)，
∵E′是AB的中點(diǎn)，
∴OE′∥BC₁；     
∵OE′?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴OE′∥平面BCC₁B₁，
∵OE∥平面BCC₁B₁，
∴E，E′重合，
∴E是AB中點(diǎn)；
（2）∵側(cè)面AA₁C₁C是菱形，
∴AC₁⊥A₁C，
∵AC₁⊥A₁B，A₁C∩A₁B=A₁，A₁C?平面A₁BC，A₁B?平面A₁BC，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵BC?平面A₁BC，
∴AC₁⊥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，屬于中檔題．