14.已知底面為矩形的四棱錐D-ABCE,AB=1,BC=2,AD=3,DE=$\sqrt{5}$,且二面角D-AE-C的正切值為-2.
(1)求證:平面ADE⊥平面CDE;
(2)求點(diǎn)D到平面ABCE的距離;
(3)求二面角A一BD-C的大。

分析 (1)推導(dǎo)出AE⊥CE,AE⊥ED,從而AE⊥平面CD,由此能證明平面ADE⊥平面CDE.
(2)推導(dǎo)出DF⊥平面ABCE,AE⊥平面CDE,則∠DEC為二面角D-AE-C的平面角,由此能求出點(diǎn)D到平面ABCE的距離.
(3)以E點(diǎn)為原點(diǎn),直線EA為x軸,直線EC為y軸,過點(diǎn)E與DF平行的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A-BD-C的大。

解答 證明:(1)∵ABCE為矩形,∴AE⊥CE,…(1分)
又∵AE2+DE2=AD2,∴AE⊥ED…(2分)
而CE∩DE=E,∴AE⊥平面CD…(3分)
而AE⊆平面ADE,
∴平面ADE⊥平面CDE.…(4分)
解:(2)由(1)平面ABCEE⊥平面CDE且交線為CE,過點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F,
則DF⊥平面ABCE,…(5分)
由(1)AE⊥平面CDE,∴∠DEC為二面角D-AE-C的平面角,
∵二面角D-AE-C的正切值為-2,∴tan∠DEC=-2,∴tan∠DEF=2.…(6分)
設(shè)EF=x,DF=2x,x2+(2x)2=5,x=1,DF=2,
∴點(diǎn)D到平面ABCE的距離為2.…(8分)
(3)以E點(diǎn)為原點(diǎn),直線EA為x軸,直線EC為y軸,過點(diǎn)E與DF平行的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
E(0,0,0),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,-1,2),
$\overrightarrow{AB}=({0,1,0}),\overrightarrow{BD}=({-2,-2,2}),\overrightarrow{CB}=({2,0,0})$…(9分)
設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BD}=-2x-2y+2z=0}\end{array}\right.$,取x=-1,得$\overrightarrow{n_1}=({-1,0.-1})$,
設(shè)平面CBD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=(x,y,z),
同理求得$\overrightarrow{n_2}=({0,1,1})$,
設(shè)二面角A-BD-C的大小為θ,則$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=-\frac{1}{2},θ=120°$,
故二面角A-BD-C的大小為120°.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明,考查點(diǎn)到平面的距離的求法,考查二面角的大小的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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