Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=(a+b，sinA-sinC)，向量

n

=(c，sinA-sinB)，且

m

∥

n

；
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）設(shè)BC中點為D，且AD=

3

；求a+2c的最大值及此時△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由條件利用兩個向量共線的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理可得cosB的值，從而求得B的值．
（Ⅱ）設(shè)∠BAD=θ，則在△BAD中，可知θ∈(0，

2π

3

)，利用正弦定理求得BD、AB的值，可得a+2c的值，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得a+2c的最大值及此時△ABC的面積．

解答： 解：（Ⅰ）因為

m

∥

n

，故有（a+b）（sinA+sinB）-c（sinA-sinC）=0，
由正弦定理可得（a-b）（a+b）-c（a-c）=0，即a²+c²-b²=ac，
由余弦定理可知cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

，因為B∈（0，π），所以B=

π

3

．
（Ⅱ）設(shè)∠BAD=θ，則在△BAD中，由B=

π

3

可知θ∈(0，

2π

3

)，
由正弦定理及AD=

3

有

BD

sinθ

=

AB

sin( 2π 3 -θ)

=

AD

sin π 3

=2，
所以BD=2sinθ，AB=2sin(

2π

3

-θ)=

3

cosθ+sinθ，
所以a=2BD=4sinθ，c=AB=

3

cosθ+sinθ，
從而a+2c=2

3

cosθ+6sinθ=4

3

sin(θ+

π

6

)，
由θ∈(0，

2π

3

)可知θ+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，所以當θ+

π

6

=

π

2

，
即θ=

π

3

時，a+2c的最大值為4

3

，
此時a=2

3

，c=

3

，所以S=

1

2

ac•sinB=

3 3

2

．

點評：本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．