Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）求的反函數(shù)的圖象上點(diǎn)（1，0）處的切線方程；

（Ⅱ）證明：曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：先求出其反函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出切線的斜率即可

法一：等價(jià)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由，求導(dǎo)，再次求導(dǎo)，判定出單調(diào)性，在上是單調(diào)遞增故在上有唯一的零點(diǎn) 法二：等價(jià)于曲線與的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，兩曲線有公共點(diǎn)，求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判定

解析：（Ⅰ）的反函數(shù)為，設(shè)所求切線的斜率為k．

∵，∴，于是在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為（Ⅱ）證法一：曲線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

∵，∴存在零點(diǎn)…

又，令，則．

當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，

∴在處有唯一的極小值

即在上的最小值為．

∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），

∴在上是單調(diào)遞增的，∴在上有唯一的零點(diǎn)，

故曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)

證法二：∵，，

∴曲線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于曲線與的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

設(shè)，則，即當(dāng)時(shí)，兩曲線有公共點(diǎn)．

又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），∴在上單調(diào)遞減，∴與有唯一的公共點(diǎn)，

故曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)