設(shè)是各項均為非零實數(shù)的數(shù)列的前項和,給出如下兩個命題上:
命題是等差數(shù)列;命題:等式對任意)恒成立,其中是常數(shù)。
⑴若的充分條件,求的值;
⑵對于⑴中的,問是否為的必要條件,請說明理由;
⑶若為真命題,對于給定的正整數(shù))和正數(shù)M,數(shù)列滿足條件,試求的最大值。

(1);(2)是,證明見解析;(3)

解析試題分析:(1)是等差數(shù)列,和可以用裂項相消法求出,等式就變?yōu)殛P(guān)于的恒等式,利用恒等式的知識可求出;(2)等式對任意)恒成立,等式左邊是一個和式,相當(dāng)于一個新數(shù)列的前項和,處理方法是把式子中的代換后,兩式相減,本題中得到,這個式子可整理為,這是關(guān)于的恒等式,因此
,即, 這就說明為等差數(shù)列,得證,解題時還要注意對的初始值是否成立;(3)已知條件為等差數(shù)列,要求的最大值,為了能對數(shù)列進(jìn)行處理,我們利用三角換元法,對已知條件變換,設(shè)設(shè),(),這樣數(shù)列的公差就可求出,從而也就能求出前項和,,再利用三角函數(shù)的最大值為,就能求出的最大值.
試題解析:(1)設(shè)的公差為,則原等式可化為
,所以,
對于恒成立,所以.     4分
(2)當(dāng)時,假設(shè)的必要條件,即“若①對于任意的)恒成立,則為等差數(shù)列”,
當(dāng)時,顯然成立,          6分
當(dāng)時,②,由①-②得:,
③,
當(dāng)時,,即成等差數(shù)列,
當(dāng)時,④,由③④得,所以為等差數(shù)列,即的必要條件.          10分
(3)由,可設(shè),所以
設(shè)數(shù)列的公差為,則,所以
所以,
,
所以的最大值為

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已知{an}為等差數(shù)列,且a2=-1,a5=8.
(1)求數(shù)列{|an|}的前n項和;
(2)求數(shù)列{2n·an}的前n項和.

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正項數(shù)列的前n項和為,且
(Ⅰ)證明數(shù)列為等差數(shù)列并求其通項公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前n項和為,證明:

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已知數(shù)列的前項和為,且的等差中項,等差數(shù)列滿足,.
(1)求數(shù)列的通項公式; 
(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,求的取值范圍.

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(本小題滿分12分)已知直角的三邊長,滿足 
(1)已知均為正整數(shù),且成等差數(shù)列,將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列,且,求滿足不等式的所有的值;
(2)已知成等比數(shù)列,若數(shù)列滿足,證明數(shù)列中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構(gòu)成直角三角形,且是正整數(shù).

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已知等差數(shù)列的前項和為,,且,.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求的值和的表達(dá)式

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已知:等差數(shù)列{an}中,a3+a4=15,a2a5=54,公差d<0.
(I)求數(shù)列{an}的通項公式an
(II)求數(shù)列的前n項和Sn的最大值及相應(yīng)的n的值.

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已知數(shù)列的通項公式為,在等差數(shù)列數(shù)列中,,且,又、、成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和.

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在等差數(shù)列中,,
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列的前項和,求的值.

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