Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），為的導(dǎo)函數(shù)，且.

（1）求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在處的切線經(jīng)過點，求函數(shù)的極值；

（3）若關(guān)于的不等式對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數(shù)的極小值為，極大值為；（3）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由，可求出實數(shù)的值；

（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在處的切線方程，將點代入切線方程，可求出實數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點，并列表分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可得出函數(shù)的極小值和極大值；

（3）方法1：由，得，，然后分和兩種情況討論，在時可驗證不等式成立，在時，由參變量分離法得，并構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，由此可得出實數(shù)的取值范圍；

方法2：解導(dǎo)數(shù)方程，得出，，然后分，，，和五種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，再解不等式可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）因為，所以，

又因為，所以，解得.

（2）因為，所以.

因為，所以.

因為，函數(shù)在處的切線方程為且過點，

即，解得.

因為，令，得，列表如下：

		極大值		極小值

所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，

當(dāng)時，函數(shù)取得極大值為；

（3）方法1：因為在上恒成立，

所以在上恒成立.

當(dāng)時，成立；

當(dāng)時，恒成立，記，，

則.

令，，

則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，即在區(qū)間上恒成立.

當(dāng)，令，得，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，所以，，

因此，實數(shù)的取值范圍是；

方法2：由（1）知，，

所以.

令，得，.

①當(dāng)時，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

由題意可知，滿足條件；

②當(dāng)時，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

由題意可知，解得；

③當(dāng)時，即時，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

由題意可知，解得，所以；

④當(dāng)時，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

由題意可知，解得.

又因為，所以；

⑤當(dāng)時，即時，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

由題意可知，即.

令，則，設(shè)，

則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又因為時，，所以在區(qū)間上恒成立，所以.

綜上，，因此，實數(shù)的取值范圍是.