Question

已知圓x²+y²=4內(nèi)一點(diǎn)A（1，1），P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若PA⊥QA，求PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,作圖題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：作出圖象輔助，由題意設(shè)P（2cosa，2sina），Q（2cosθ，2sinθ），則M=（x，y）=（cosa+cosθ，sina+sinθ），由PA⊥QA可得

AP

•

AQ

=0，化簡可得軌跡方程．

解答： 解：如右圖，
設(shè)P（2cosa，2sina），Q（2cosθ，2sinθ），
則M=（x，y）=（cosa+cosθ，sina+sinθ），
∵PA⊥QA，
∴

AP

•

AQ

=0，
∴（2cosa-1，2sina-1）•（2cosθ-1，2sinθ-1）=0，
∴（2cosa-1）（2cosθ-1）+（2sina-1）（2sinθ-1）=0，
∴4cosacosθ）-2（cosa+cosθ）+1+4sinasinθ-2（sina+sinθ）+1=0①，
又∵（cosa+cosθ）²+（sina+sinθ）²=2+2（cosacosθ+sinasinθ），
∴4（cosacosθ+sinasinθ）=2[（cosa+cosθ）²+（sina+sinθ）²-2]，
則①式可化為
2[（cosa+cosθ）²+（sina+sinθ）²-2]-2（cosa+cosθ）+1-2（sina+sinθ）+1=0，
即2（x²+y²-2）-2x+1-2y+1=0，
即x²+y²-x-y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程及軌跡方程的求法，屬于中檔題．