Question

若不等式|x+1|+|x-4|≥a+

4

a

對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可求得f（x）=|x+1|+|x-4|≥5，問題轉(zhuǎn)化為a+

4

a

≤f（x）_min=5恒成立，移項(xiàng)后通分，求與得到的不等式相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)不等式組，解之即可．

解答： 解：∵f（x）=|x+1|+|x-4|≥|（x+1）+（4-x）|=5，
∴f（x）_min=5，
∵不等式|x+1|+|x-4|≥a+

4

a

對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，
∴a+

4

a

≤f（x）_min，
∴a+

4

a

≤5，
∴a+

4

a

-5=

a2-5a+4

a

≤0，
∴

a2-5a+4≥0 a＜0

①或

a2-5a+4≤0 a＞0

②，
解①得：a＜0；
解②得：1≤a≤4．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪[1，4]．
故答案為：（-∞，0）∪[1，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查高次不等式的解法，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與方程思想，考查綜合運(yùn)算與求解能力，屬于中檔題．