Question

3．若△PAD所在平面與矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，若點P，A，B，C，D都在同一個球面上，則此球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{25}{3}$π
• B． $\frac{28}{3}$π
• C． $\frac{28\sqrt{21}}{27}$π
• D． $\frac{25\sqrt{21}}{27}$π

Answer 1

分析 設(shè)球心為O，求出AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，設(shè)AC∩BD=E，則BE=$\sqrt{2}$，OP=OB=R，設(shè)OE=x，則OB²=BE²+OE²=2+x²，過O作線段OH⊥平面PAD于H點，H是垂足，PO²=OH²+PH²=1+（$\sqrt{3}$-x）²，由此能求出球半徑R，由此能求出此球的表面積．

解答 解：設(shè)球心為O，如圖，
∵△PAD所在平面與矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，
∴AD=2，BD=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
設(shè)AC∩BD=E，則BE=$\sqrt{2}$，
∵點P，A，B，C，D都在同一個球面上，∴OP=OB=R，
設(shè)OE=x，在Rt△BOE中，OB²=BE²+OE²=2+x²，
過O作線段OH⊥平面PAD于H點，H是垂足，
∵O點到面PAD的距離與點E到平面PAD的距離相等，∴OH=1，
∴在Rt△POH中，PO²=OH²+PH²=1+（$\sqrt{3}$-x）²=x²-2$\sqrt{3}x$+4，
∴2+x²=x²-2$\sqrt{3}x$+4，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴R=$\sqrt{2+{x}^{2}}=\sqrt{2+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{7}{3}}$，
∴此球的表面積S=4πR²=4π×$\frac{7}{3}$=$\frac{28}{3}π$．
故選：B．

點評 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意球、四棱錐的性質(zhì)及構(gòu)造法的合理應(yīng)用．