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6.如圖,橢圓E:x2a2+y22=1(a>b>0)經(jīng)過點A(0,-1),且離心率為22
(1)求a的值;
(2)經(jīng)過點(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P,Q(均異于點A),證明:直線AP與AQ的斜率之和為2.

分析 (1)運用離心率公式和a,b,c的關(guān)系,解方程可得a,進而得到橢圓方程;
(2)由題意設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k≠0),代入橢圓方程x22+y2=1,運用韋達定理和直線的斜率公式,化簡計算即可得到結(jié)論.

解答 (1)解:∵橢圓E:x2a2+y22=1(a>b>0)經(jīng)過點A(0,-1),且離心率為22,
∴b=1,ca=22,
∴c=1,a=2
(2)證明:由題設(shè)知,直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k≠2),
代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.
由已知△>0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,
則x1+x2=4kk11+2k2,x1x2=2kk21+2k2
從而直線AP,AQ的斜率之和
kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2kx1+kx2+2kx2
=2k+(2-k)x1+x2x1x2
=2k+(2-k)4kk12kk2=2k-2(k-1)=2.
所以直線AP、AQ斜率之和為定值2.

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì),主要考查橢圓的離心率和方程的運用,聯(lián)立直線方程,運用韋達定理,考查直線的斜率公式,屬于中檔題.

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